Se você usa a versão gratuita do serviço, é possível navegar pelo app no celular enquanto assiste ou ouve a um vídeo. Porém, ao voltar para a tela inicial do celular ou abrir outro aplicativo, a reprodução é pausada. Para desbloquear o recurso, é necessário adquirir a assinatura premium, oferecida por R$ 20,90 por mês para o YouTube ou R$ 16,90 por mês para o YouTube Music.
Assinantes do serviço podem visualizar o vídeo em miniatura no Android e no iOS, com uma opção para reproduzir apenas o áudio. Confira o passo a passo e veja como ouvir música no YouTube e mexer no celular!
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Como ouvir música no YouTube e mexer no celular ao mesmo tempo

Com o YouTube Premium, também é possível desativar a reprodução em segundo plano ou limitar para o uso de fones de ouvido ou alto-falantes conectados. Para isso, abra o aplicativo do YouTube, vá em “Configurações” e selecione “Segundo plano e downloads”. Na próxima tela, use a aba “Reprodução” para fazer os ajustes.

Com a função de dividir a tela entre dois apps, é possível conseguir ouvir música pelo YouTube gratuitamente enquanto usa outro aplicativo no Android. No entanto, isso apresenta limitações: a reprodução é interrompida com a tela bloqueada, o app do YouTube ainda ocupa espaço útil da interface e pode ser necessário repetir o processo várias vezes ao alternar apps. Veja, a seguir, como usar o recurso:

Em alguns casos, a reprodução em segundo plano pode não funcionar corretamente, mesmo com uma assinatura do YouTube Premium. Nessas situações, é recomendável checar se nenhum outro aplicativo está reproduzindo áudio no seu celular ao mesmo tempo. Caso o problema persista, reinicie o aplicativo, procure por atualizações na Google Play Store ou App Store e confira o status de sua conexão com a internet.
Fonte: YouTube (1, 2)